раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ?1, ?2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не представляют особого интереса и обычно не входят в предмет теории чисел. С другой стороны, выписанное только что равенство становится несравненно более интересным, если заметить, что оно представляет собой простейшее решение в целых числах (если не считать тривиальных решений x = z, y = 0) уравнения Пифагора x2 + y2 = z2. С этой точки зрения последнее уравнение непосредственно приводит к некоторым подлинным теоретико-числовым проблемам, например, (1) имеет ли x2 + y2 = z2 бесконечно много или только конечное число решений в целых числах и как их можно найти. (2) Какие целые числа представимы в виде x2 + y2, где x и y - целые числа. (3) Существуют ли решения в целых числах аналогичного уравнения xn + yn = zn, где n - целое число, большее 2. Одна из интригующих особенностей теории чисел состоит в том, что эти три вопроса, формулируемые так легко и понятно, в действительности находятся на совершенно различных уровнях сложности. Пифагор и Платон, а возможно гораздо раньше вавилонские математики, знали, что уравнение x2 + y2 = z2 имеет бесконечно много решений в целых числах, а древнегреческому математику Диофанту (ок. 250 до н.э.) было известно, что каждое такое решение представимо в виде x = r2 - s2, y = 2rs, z = r2 + s2 при подходящих целых числах r и s и что при любых двух целых числах r и s соответствующие значения x, y и z образуют решение. Что касается второго вопроса, то структуру множества целых чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, описал П.Ферма (1601-1665), основатель теории чисел в ее современной форме. Ферма показал, что целое число m представимо в виде суммы двух квадратов в том и только в том случае, когда частное от деления числа m на наибольший квадрат, делящий число m, не содержит простого множителя вида 4k + 3 (k - целое число). Этот результат гораздо тоньше, чем первый, а его доказательство далеко не очевидно, хотя и не является слишком трудным. Третий вопрос оставался без ответа, несмотря на упорнейшие усилия самых блестящих математических умов, на протяжении трех последних столетий. Ферма примерно в 1630 на полях одной из книг написал, что уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y и z, отличных от нуля, при n больше 2, но самого доказательства не оставил. И только в 1994 Э.Вайлсу из Принстонского университета удалось доказать эту теорему, уже несколько веков носящую название "Великой теоремы Ферма".

Вне самой математики теория чисел имеет довольно мало приложений, и развивалась она не ради решения прикладных задач, а как искусство ради искусства, обладающее своей внутренней красотой, тонкостью и трудностью. Тем не менее теория чисел оказала большое влияние на математическую науку, поскольку некоторые разделы математики (в том числе и такие, которые впоследствии нашли применение в физике) были первоначально созданы для решения особенно сложных проблем теории чисел. См. также ЧИСЛО
; МАТЕМАТИКА
.

Мультипликативные основания. Условимся считать, что в дальнейшем все латинские буквы будут означать (если особо не оговорено противное) целые числа. Мы говорим, что b является делителем числа a (или что b делит a) и обозначаем это b|a, если существует такое целое число c, что a = bc. Числа 1 и ?1 ("единицы"), обратные к которым - целые числа, являются делителями любого целого числа. Если ?1 и ?a - единственные делители числа a, то оно называется простым; если же существуют другие делители, то число a называется составным. (Простыми числами являются, например, 2, 3, 5, 7, 11, 13.) Если положительное целое число a составное, то его можно представить в виде a = bc, где 1 < b < a и 1 < c < a; если либо b, либо c составное, то его в свою очередь можно разложить на множители. Продолжая разлагать на множители, мы в конце концов должны прийти к представлению числа a в виде произведения конечного числа простых чисел (не все из которых обязательно различны); например, 12 = 2?2?3, 13 = 1??3, 100 = 2?2?5?5. В противном случае число a можно было бы записать в виде произвольно большого числа множителей, каждый из которых не меньше 2, что невозможно. Теорема о единственности разложения на простые множители, одна из фундаментальных теорем теории чисел, утверждает, что с точностью до очевидных изменений в знаках и порядке множителей любые два разложения числа a совпадают; например, любое разложение числа 12 на простые множители представимо тремя числами - 2?2?3; 2?3?2; 3?2?2; другие разложения получаются заменой любых двух множителей равными по абсолютной величине отрицательными числами. Теорема о единственности разложения на простые множители встречается в "Началах" Евклида, где она доказана с помощью понятия наибольшего общего делителя (НОД). Если d 0 - общий делитель чисел a и b и, в свою очередь, делится на любое другое число, делящее a и b, то d называется наибольшим общим делителем чисел a и b, что записывается так: НОД(a, b) = d; например, НОД (12, 18) = 6. Если НОД (a, b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми. Евклид показал, что для любых двух чисел a и b, отличных от нуля, существует единственный НОД, и предложил систематический метод, напоминающий "деление углом"; с НОД чисел a и b связано их наименьшее общее кратное (НОК) - наименьшее положительное число, которое делится на каждое из чисел a и b. Наименьшее общее кратное равно произведению чисел a и b, деленному на их НОД, или |ab|/НОД (a, b). См. также АРИФМЕТИКА
.

Согласно теореме о единственности разложения на простые множители, простые числа являются теми "кирпичиками", из которых строятся целые числа. Помимо ?2, все остальные простые числа нечетны, так как четным число называется только когда оно делится на 2. Уже Евклиду было известно, что простых чисел бесконечно много. Он доказал это, заметив, что число N = (p1p2...pn) + 1 (где p1, p2, ..., pn - все простые числа) не делится ни на одно простое число p1, p2, ..., pn и, потому либо само N, либо один из его простых множителей должен быть простым числом, отличным от p1, p2, ..., pn. Следовательно, p1, p2, ..., pn не может быть полным перечнем всех простых чисел.

Пусть m . 1 - некоторое заданное целое число. Любое число a при делении на m дает остаток, равный одному из чисел 0, 1, ..., m - 1. (Например, при m = 13 и a, принимающем последовательно значения 29, 7, ?21, 65, получаем: 29 = 2?3 + 3, 7 = 0?13 + 7, -21 = -2?13 + 5, 65 = 5?13 + 0, и остатки равны соответственно 3, 7, 5, 0.) Если числа a и b при делении на m дают один и тот же остаток, то в некоторых случаях их можно рассматривать как эквивалентные относительно m. Математики говорят в таких случаях, что числа a и b сравнимы по модулю m, что записывается так: a . b (mod m) и называется сравнением по модулю m. Мы все знакомы со сравнением по модулю 12 в случае с часами: 17 часов означает то же самое, что 5 часов пополудни, так как 17 . 5 (mod 12). Это отношение, называемое сравнением, было введено К.Гауссом (1777-1855). Оно несколько похоже на равенство тем, что сравнения по одному и тому же модулю m можно складывать и умножать, как обычно: если a . b (mod m) и c . d (mod m), то a + c . b + d (mod m), a - c . b - d (mod m), a?c . b?d (mod m) и ta . tb (mod m) при любом целом t. Сокращение на общий множитель, вообще говоря, невозможно, т.к. 20 . 32 (mod 6), но 5 . 8 (mod 6). Однако если ta . tb (mod m) и (t,m) = d, то a . b (mod (m/d)). При d = 1 это по существу сводится к сокращению на общий множитель; например, 28 . 40 (mod 3), и так как числа 4 и 3 взаимно простые, мы можем разделить обе части сравнения на 4 и получить 7 . 10 (mod 3). Можно также показать, что если a . b (mod m), то НОД чисел a и m равен НОД чисел b и m. В качестве примера рассмотрим сравнение 6 . 10 (mod 4): НОД (6, 4) равен 2, и НОД (10, 4) также равен 2.

Все целые числа, сравнимые с каким-либо числом, образуют один класс вычетов. Для каждого модуля m существует m классов вычетов, соответствующих m остаткам 0, 1, ..., m . 1; каждый из классов содержит одно из чисел 0, 1, ..., m - 1 вместе со всеми числами, сравнимыми с этим числом по модулю m. Если два числа a и b принадлежат одному классу вычетов, т.е. удовлетворяют соотношению a . b (mod m), то НОД (a,m) = НОД (b,m); следовательно, либо все элементы данного класса вычетов взаимно просты с m, либо ни один не взаимно прост. Число "приведенных" классов вычетов, т.е. классов вычетов, элементы которых взаимно просты с m, обозначается . (m). Таким образом возникает функция на множестве целых чисел, называемая ?-функцией Эйлера в честь Л.Эйлера (1707-1783). При m = 6 существует шесть классов вычетов, каждый из которых содержит одно из чисел 0, 1, ..., 5. С этим m взаимно просты только элементы класса, содержащего число 5, и класса, содержащего число 1. Следовательно, . (m) = 2.

Как и в случае уравнений, можно рассматривать сравнения с одним или более неизвестными. Простейшим служит линейное сравнение с одним неизвестным ax . b (mod m). Оно выполняется только в том случае, когда m делит число (ax - b), или ax - b = my при некотором целом y. Таким образом, это сравнение эквивалентно линейному уравнению ax - my = b. Так как левая его часть обязательно делится на НОД (a, m), оно не может выполняться ни при каких целых числах x и y, если НОД (a, m) не делит число b.

Можно показать, что сравнение ax . b (mod m) разрешимо в том и только в том случае, когда НОД (a, m) делит число b, а если это условие выполнено, то существует ровно НОД (a, m) классов вычетов по модулю m, элементы которых удовлетворяют этому сравнению. Например, уравнение 2x + 6y = 5 неразрешимо в целых числах, т.к. НОД (2, 6) = 2, а число 5 не делится на 2; уравнение 2x + 3y = 5 разрешимо, т.к. НОД (2, 3) = 1; аналогично, уравнение 2x + 3y = b разрешимо при любом целом b. Действительно, при любых a и m, таких, что НОД (a, m) = 1, уравнение ax - my = b разрешимо для любого b.

Уравнение ax - my = b - это, по-видимому, простейший пример "диофантова уравнения", т.е. уравнения с целыми коэффициентами, которое требуется решить в целых числах.

Общее квадратичное сравнение ax2 + bx + c . 0 (mod m) можно проанализировать весьма полно. Умножая на 4a, получаем 4a2x2 + 4abx + 4ac . 0 (mod 4am), или (2ax + b)2 . (b2 - 4ac) (mod 4am). Полагая 2ax + b = u и b2 - 4ac = r, мы сводим решение исходного сравнения к решению сравнения u2 . r (mod 4am). В свою очередь решения последнего сравнения с помощью чуть более сложных рассуждений можно свести к решению сравнений вида u2 . r (mod p), где p - простое число. Поэтому все сложности и весь интерес кроются в этом, казалось бы, частном случае общего квадратичного сравнения. Если сравнение u2 . r (mod p) разрешимо, то u называется квадратичным вычетом по модулю p, а в противном случае - квадратичным невычетом. "Квадратичный закон взаимности", открытый эмпирически Эйлером (ок. 1772) и доказанный Гауссом (1801), утверждает, что если p и q - различные нечетные простые числа, то каждое из них или является квадратичным вычетом по модулю другого, или это не верно ни для одного из них за исключением случая, когда и p, и q имеют вид 4k + 3 и когда лишь одно из этих чисел является квадратичным вычетом по модулю другого. Теорема Гаусса, названная им "золотой теоремой", служит мощным инструментом теоретико-числовых исследований и позволяет ответить на вопрос, разрешимо ли данное квадратичное сравнение.

Сравнения более высоких степеней вида f (x) . 0 (mod m), где f (x) - многочлен степени выше 2, решаются с большим трудом. Согласно теореме Ж.Лагранжа (1736 - 1813), число решений (точнее, число классов вычетов, каждый из элементов которых является решением) не превышает степени многочлена f (x), если модуль простой. Существует простой критерий разрешимости сравнения xn . r (mod p), принадлежащий Эйлеру, но он неприменим к сравнениям общего вида, о разрешимости которых при n 2 мало что известно.

Диофантовы уравнения. Несмотря на то, что исследования диофантовых уравнений восходят к началу становления математики, общая теория диофантовых уравнений до сих пор отсутствует. Вместо этого имеется обширный набор отдельных приемов, каждый из которых полезен при решении лишь ограниченного класса задач. Приступая к изучению диофантова уравнения, хотелось бы получить описание всех его целочисленных решений, как это было сделано выше для уравнения x2 + y2 = z2. В этом смысле полностью решить удалось лишь небольшой класс уравнений, большинство из которых либо линейно, либо квадратично. Решение произвольной системы из m линейных уравнений с n неизвестными в случае, когда n m, было получено Г.Смитом (1826-1883). Простейшим квадратным уравнением является т.н. уравнение Пелля x2 - Dy2 = N (где D и N - любые целые числа), которое было полностью решено Лагранжем (1766). Известны также решения различных отдельных уравнений или систем уравнений второй степени с более чем двумя неизвестными, а также немногих уравнений более высоких степеней. В последнем случае получены в основном отрицательные результаты - рассматриваемое уравнение не имеет решений или имеет только конечное число решений. В частности, К.Зигель показал в 1929, что единственными алгебраическими уравнениями с двумя неизвестными, имеющими бесконечно много целочисленных решений, являются линейные уравнения, уравнения Пелля и уравнения, получаемые из тех и других с помощью специальных преобразований.

Формы. Формой называется однородный многочлен от двух или более переменных, т.е. многочлен, все члены которого имеют одну и ту же полную степень по совокупности переменных; например, x2 + xy + y2 - форма степени 2, x3 - x2y + 3xy2 + y3 - форма степени 3. Одним из основных является вопрос, аналогичный сформулированному выше для формы x2 + y2, а именно: какие целые числа представимы с помощью формы (т.е. какие целые значения может принимать форма) при целых значениях переменных. И на этот раз наиболее полно был рассмотрен квадратичный случай. Для простоты мы ограничимся лишь двумя переменными, т.е. формами вида f(x,y) = ax2 + bxy + cy2. Величина . = 4ac - b2 называется дискриминантом формы f(x,y); если дискриминант равен нулю, то форма вырождается в квадрат линейной формы. Такой случай обычно не рассматривается. Формы с положительным дискриминантом называются определенными, т.к. все значения, принимаемые формой f(x,y) в этом случае, имеют тот же знак, что и a; при положительном a форма f(x,y) всегда положительна и называется положительно определенной. Формы с отрицательным дискриминантом называются неопределенными, так как f(x,y) принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Если в f(x,y) произвести замену переменных x = Au + Bv, y = Cu + Dv, где A, B, C, D - целые числа, удовлетворяющие условию AD - BC = ?1, то получим новую форму g(u,v). Так как любой паре целых чисел x и y соответствует пара целых чисел u и v, то каждое целое число, представимое формой f, представимо формой g, и наоборот. Поэтому в таком случае говорят, что f и g эквивалентны. Все формы, эквивалентные данной, образуют класс эквивалентности; число таких классов для форм с фиксированным дискриминантом . конечно.

Оказывается, что в случае положительно определенных форм в каждом классе эквивалентности существует единственная форма ax2 + bxy + cy2 с такими коэффициентами a, b, c, что либо -a < b . a < c, либо 0 . b . a = c. Такая форма называется приведенной формой данного класса эквивалентности. Приведенная форма используется как стандартный представитель своего класса, а информация, получаемая относительно нее, легко распространяется на остальные члены класса эквивалентности. Одной из основных задач, которая в этом простейшем случае полностью решена, является нахождение приведенной формы, эквивалентной данной форме; этот процесс называется приведением. В случае неопределенных форм мы не можем указать неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты лишь одной формы из каждого класса. Однако существуют неравенства, которым удовлетворяет некоторое конечное число форм в каждом классе, и все они называются приведенными формами.

Определенные и неопределенные формы различаются также тем, что любая определенная форма представляет (если представляет) целое число только конечным числом способов, тогда как число представлений целого числа неопределенной формой всегда либо равно нулю, либо бесконечно. Дело в том, что, в отличие от определенных форм, неопределенные обладают бесконечно многими "автоморфизмами", т.е. подстановками x = Au + Bv, y = Cu + Dv, оставляющими форму f (x,y) неизменной, так что f (x,y) = f (u,v). Эти автоморфизмы можно полностью описать в терминах решений уравнения Пелля z2 + ?w2 = 4, где . - дискриминант формы f.

Некоторые частные результаты, связанные с представлением целых чисел квадратичными формами, были известны задолго до появления только что описанной общей теории, начало которой было положено Лагранжем в 1773 и которая получила развитие в работах Лежандра (1798), Гаусса (1801) и других. Ферма в 1654 показал, что каждое простое число вида 8n + 1 или 8n + 3 представимо формой x2 + 2y2, каждое простое число вида 3n + 1 представимо формой x2 + 3y2 и не существует простого числа вида 3n - 1, представимого формой x2 + 3y2. Он также установил, что любое простое число вида 4n + 1 представимо, причем единственным способом, в виде суммы двух квадратов. Ферма не оставил доказательств этих теорем (как, впрочем, и почти всех других своих результатов). Некоторые из них были доказаны Эйлером (1750-1760), причем доказательство последней из указанных теорем потребовало от него семи лет напряженных усилий. Ныне эти теоремы известны как простые следствия из квадратичного закона взаимности.

Сходным образом можно определить и эквивалентность квадратичных форм от n переменных. Существуют аналогичные теории приведения и представлений, естественно, более сложные, чем в случае двух переменных. К 1910 развитие теории продвинулось настолько, насколько это было возможно с помощью классических методов, и теория чисел пребывала в состоянии спячки вплоть до 1935, когда Зигель придал ей новый импульс, сделав основным инструментом исследований в этой области математический анализ.

Одна из наиболее удивительных теорем теории чисел была доказана Ферма и, по-видимому, была известна еще Диофанту. Она гласит, что любое целое число есть сумма четырех квадратов. Более общее утверждение без доказательства высказал Э.Варинг (1734-1798): каждое положительное целое число есть сумма не более девяти кубов, не более девятнадцати четвертых степеней и т.д. Общее утверждение о том, что для каждого положительного целого числа k существует целое число s, такое, что любое положительное целое число может быть представлено в виде суммы не более чем s k-х степеней, было в конце концов доказано Д.Гильбертом (1862-1943) в 1909.

Геометрия чисел. В общих чертах можно сказать, что геометрия чисел включает в себя все приложения геометрических понятий и методов к теоретико-числовым проблемам. Отдельные соображения такого рода появились в 19 в. в работах Гаусса, П.Дирихле, Ш.Эрмита и Г.Минковского, в которых для решения некоторых неравенств или систем неравенств в целых числах использовались их геометрические интерпретации. Минковский (1864-1909) систематизировал и унифицировал все, сделанное в этой области до него, и нашел новые важные приложения, особенно в теории линейных и квадратичных форм. Он рассматривал n неизвестных как координаты в n-мерном пространстве. Множество точек с целыми координатами получило название решетки. Все точки с координатами, удовлетворяющими требуемым неравенствам, Минковский интерпретировал как внутренность некоторого "тела", и задача состояла в том, чтобы определить, содержит ли данное тело какие-либо точки решетки. Фундаментальная теорема Минковского утверждает, что если тело выпукло и симметрично относительно начала координат, то оно содержит хотя бы одну точку решетки, отличную от начала координат, при условии, что n-мерный объем тела (при n = 2 это площадь) больше, чем 2n.

Многие вопросы естественно приводят к теории выпуклых тел, и именно эта теория была развита Минковским наиболее полно. Затем на долгое время опять наступил застой, но с 1940, в основном благодаря работам английских математиков, наметился прогресс в развитии теории невыпуклых тел.

Диофантовы приближения. Этот термин был введен Минковским для описания задач, в которых некоторое переменное выражение должно быть сделано насколько возможно малым, когда переменная принимает целочисленные значения, не превышающие некоторого большого числа N. В настоящее время термин "диофантовы приближения" используется в более широком смысле для обозначения ряда теоретико-числовых задач, в которых встречается одно или несколько заданных иррациональных чисел. (Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.) Почти все такого рода проблемы возникли из следующего фундаментального вопроса: если дано некоторое иррациональное число ?, то каковы наилучшие рациональные приближения к нему и насколько хорошо они его приближают. Разумеется, если использовать достаточно сложные рациональные числа, то число . можно приблизить сколь угодно точно; поэтому вопрос имеет смысл только в том случае, когда точность приближения сопоставляется с величиной числителя или знаменателя, аппроксимирующего числа. Например, 22/7 - хорошее приближение к числу . в том смысле, что из всех рациональных чисел со знаменателем 7 дробь 22/7 ближе всех к числу ?. Такие хорошие приближения всегда можно найти с помощью разложения числа . в непрерывную дробь. Подобные разложения, в чем-то похожие на разложения в десятичную дробь, служат мощным инструментом исследований в современной теории чисел. С их помощью, например, нетрудно убедиться в том, что для каждого иррационального числа . существует бесконечно много дробей y/x, таких, что погрешность |. - y/x| меньше, чем 1/x2 (см. также НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ).

Число . называется алгебраическим, если оно удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с целочисленными коэффициентами a0?n + a1?n - 1 + ... + an = 0. В противном случае число . называется трансцендентным. То немногое, что известно о трансцендентных числах, получено с помощью методов диофантовых приближений. Доказательства обычно сводятся к нахождению аппроксимационных свойств трансцендентных чисел, которыми не обладают алгебраические числа. Примером может служить теорема Ж.Лиувилля (1844), согласно которой число . трансцендентно, если при сколь угодно большом показателе n найдется дробь y/x, такая, что 0 < |. - y/x| < 1/xn. Развивая идеи Эрмита, Ф.Линдеман в 1882 доказал, что число . трансцендентно и тем самым дал окончательный (отрицательный) ответ на вопрос, поставленный еще древними греками: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равный по площади данному кругу. В 1934 А.О.Гельфонд (1906-1968) и Т.Шнайдер (р. 1911) независимо друг от друга доказали, что если алгебраическое число ?, отличное от 0 или 1, возвести в иррациональную алгебраическую степень ?, то получившееся число ?. трансцендентно. Например, число трансцендентно. То же самое можно сказать и о e. (значении выражения i-2i).

Аналитическая теория чисел. Математический анализ можно назвать математикой непрерывно изменяющихся величин; поэтому на первый взгляд может показаться странным, что при решении чисто теоретико-числовых задач такая математика может быть полезной. Первым, кто стал систематически использовать весьма мощные аналитические методы в арифметике, был П.Дирихле (1805-1859). Исходя из свойств "рядов Дирихле"

рассматриваемых как функции переменной s, он показал, что если НОД (a,m) = 1, то существует бесконечно много простых чисел вида p . a (mod m) (таким образом, существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1, а также бесконечно много простых чисел вида 4k + 3). Частный случай ряда Дирихле 1 + 2-s + 3-s +... получил название дзета-функция Римана . (s) в честь Б.Римана (1826-1866), который исследовал ее свойства при комплексном s, чтобы проанализировать распределение простых чисел. Задача состоит в следующем: если ?(x) обозначает число простых чисел, не превышающих x, то как велико значение ?(x) при больших значениях x. В 1798 А.Лежандр высказал предположение, согласно которому отношение ?(x) к x/log x (где логарифм берется по основанию e) приближенно равно 1 и с возрастанием x стремится к 1. Частичный результат был получен в 1851 П.Л.Чебышёвым (1821-1894), но полностью гипотеза Лежандра, т.н. "теорема о простых числах", была доказана лишь в 1896 с помощью методов, основанных на работе Римана (независимо Ж.Адамаром и Ш. де ла Валле Пуссеном). В 20 в. в области аналитической теории чисел было сделано немало, однако многие, казалось бы, легкие вопросы относительно простых чисел по-прежнему остаются без ответа. Например, поныне неизвестно, существует ли бесконечно много "пар простых чисел", т.е. пар последовательных простых чисел, таких, как 101 и 103. Существует еще одна до сих пор недоказанная гипотеза Римана, она касается комплексных чисел, являющихся нулями дзета-функции, и занимает настолько важное место во всей теории, что многие доказанные и опубликованные теоремы содержат слова "Если гипотеза Римана верна, то...".

Аналитические методы широко применяются и в аддитивной теории чисел, занимающейся представлениями чисел в виде сумм определенного вида. Аналитические методы были существенно использованы Гильбертом в его решении проблемы Варинга, о которой упоминалось выше. Попытки придать теореме Гильберта количественный характер с помощью оценки числа k-х степеней, необходимых для представления всех целых чисел, привели в 1920-х и 1930-х годах Г.Харди и Дж.Литлвуда к созданию кругового метода, усовершенствованного далее И.М.Виноградовым (1891-1983). Эти методы нашли применение в аддитивной теории простых чисел, например, при доказательстве теоремы Виноградова о том, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел.

Алгебраическая теория чисел. Чтобы доказать закон взаимности четвертых степеней (аналог квадратичного закона взаимности для соотношения x4 . q (mod p)), Гаусс в 1828 исследовал арифметику комплексных чисел a + bi, где a и b - обычные целые числа, а . Делимость, "единицы", простые числа и НОД для "гауссовых чисел" определяются так же, как для обычных целых чисел, сохраняется также и теорема о единственности разложения на простые числа. Пытаясь доказать Великую теорему Ферма (о том, что уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах при n 2), Э.Куммер в 1851 перешел к изучению арифметики целых чисел более общего типа, определяемых с помощью корней из единицы. Сначала Куммер полагал, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма, но он заблуждался, поскольку, вопреки наивной интуиции, для таких чисел не выполняется теорема о единственности разложения на простые множители. В 1879 Р.Дедекинд ввел общее понятие алгебраического целого числа, т.е. алгебраического числа, удовлетворяющего алгебраическому уравнению с целочисленными коэффициентами и коэффициентом a0 при старшем члене, равном 1. Чтобы получить некоторое множество алгебраических целых чисел, аналогичное множеству обычных целых чисел, необходимо рассматривать только такие алгебраические целые числа, которые принадлежат фиксированному полю алгебраических чисел. Это множество всех чисел, которые можно получить из некоторого данного числа и рациональных чисел с помощью многократного применения сложения, вычитания, умножения и деления; поле алгебраических чисел аналогично множеству рациональных чисел. Алгебраические целые числа из данного поля в свою очередь подразделяются на "единицы", простые и составные числа, но в общем случае для двух таких чисел однозначно определенного НОД не существует и не выполняется теорема о единственности разложения на простые множители. Простейшие примеры полей алгебраических чисел, кроме множества рациональных чисел, это поля алгебраических чисел, определенные с помощью алгебраических чисел степени 2, т.е. иррациональных чисел, удовлетворяющих квадратным уравнениям с рациональными коэффициентами. Такие поля называются квадратичными числовыми полями.

Куммеру принадлежит фундаментальная идея введения новых т.н. идеальных чисел (1847), выбираемых таким образом, чтобы в расширенном множестве снова выполнялась теорема о единственности разложения на простые множители. Для той же цели Дедекинд в 1870 ввел несколько иное понятие идеалов, а Кронекер в 1882 - метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел. Работы этих трех математиков не только заложили основы арифметической теории алгебраических чисел, но и ознаменовали начало современной абстрактной алгебры.

Вопрос о том, имеет ли место в данном поле единственное разложение на простые множители, весьма труден. Ситуация ясна только в одном случае: существует лишь конечное число квадратичных полей, обладающих этим свойством, и все такие поля, за исключением одного сомнительного случая, хорошо известны. С "единицами" поля ситуация проще: как показал Дирихле, все "единицы" (которых, вообще говоря, бесконечно много) можно представить в виде произведений степеней некоторого конечного множества "единиц". Рассмотрение такого рода проблем в связи с каким-нибудь конкретным полем непременно предваряет более глубокие арифметические исследования в рамках этого поля и приложения к проблемам классической теории чисел. Существует другая, более тонкая теория, начало которой было положено в 1894 Гильбертом, в которой одновременно рассматриваются все числовые поля, обладающие определенными свойствами. Она называется "теорией полей классов" и принадлежит к наиболее строгим в техническом отношении разделам математики. Существенный вклад в ее развитие внесли Ф.Фуртвенглер в 1902 и Т.Такаги в 1920. В последние годы в этой области математики наблюдается значительная активность.

наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.

Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., занимают натуральные числа - целые положительные числа 1, 2, 3,...- их свойства и операции над ними. Все натуральные числа, бо́льшие единицы, распадаются на 2 класса: к 1-му классу относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, именно единицу и самого себя, ко 2-му - все остальные. Числа 1-го класса стали называть простыми, а 2-го - составными. Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 в. до н. э.). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает: на первый десяток их приходится 4, т. е. 40\%, на сотню - 25, т. е. 25\%, на тысячу - 168, т. е. ≈ 17\%, на миллион - 78 498, т. е. ≈ 8\%, и т.д., однако их бесконечно много (Евклид).

Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (т. н. простые близнецы), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причём каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Т. о., простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда. Первыми задачами о простых числах были такие: как часто они расположены в натуральном ряде и как далеко они отстоят друг от друга. Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма (правила), позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является Эратосфена решето (3 в. до н. э.). Евклид в "Началах" указал способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел (Евклида алгоритм), следствием которого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители.

Вопрос о целочисленных решениях различного вида уравнений также восходит к древности. Простейшим уравнением в целых числах является линейное уравнение аХ + bY = с, где a, b и с - попарно взаимно простые целые числа. С помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения аХ + bY = 1, из которого затем получаются все решения первоначального уравнения. Другим уравнением в целых числах является уравнение X² + Y² = Z² (решение Х = 3, Y = 4, Z = 5 связано с именем Пифагора), все целочисленные решения которого выписаны в "Началах" (кн. X, предложение 29) X = r²-q², Y = 2rq, Z = r²+q², где r и q - целые числа. Евклиду было известно также и уравнение аХ² +1= Y², названное впоследствии Пелля уравнением. В "Началах" (кн. X, предложение 9) Евклид показал, как находить все его решения, исходя из наименьшего, для случая а = 2. Систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах дано Диофантом в его "Арифметике" (середина 3 в. н. э.). Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части Ч. т., которая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями (См. Диофантовы уравнения).

Следующий этап в развитии Ч. т. связан с именем П. Ферма, которому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им была выдвинута гипотеза, получившая название Ферма великая теорема, и доказана теорема, известная как Ферма малая теорема, которая играет важную роль в теории сравнений (См. Сравнение) и её позднейших обобщениях. Продолжая исследования Ферма по теории делимости чисел, Л. Эйлер доказал теорему, обобщающую малую теорему Ферма. Ему принадлежат также и первые доказательства великой теоремы Ферма для показателя n = 3.

К началу 18 в. в науке о целых числах накопилось много фактов, позволивших создать стройные теории и общие методы решения задач Ч. т.

Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал создавать общие методы и применять др. разделы математики, в частности математический анализ, к решению задач Ч. т. Исследуя вопрос о числе решений линейных уравнений вида

a₁X₁ +... + а_пХ_п = N,

где a₁,..., a_n - натуральные числа, в целых неотрицательных числах X₁,..., Xn, Л. Эйлер построил производящую функцию Ф (z) от переменной z, коэффициенты которой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения. Функция Ф (z) определяется как формальное произведение рядов

, ...,

т. е. Ф (z) = Ф₁(z)^....^. Ф_к (z), каждый из которых сходится при ∣z∣ < 1 и имеет достаточно простой вид, являясь суммой членов бесконечной геометрической прогрессии:

, ...,

Следовательно,

причём I (N) - число решений изучаемого уравнения. Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди-Литлвуда, далеко идущим развитием которого, в свою очередь, явился метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова.

Другой проблемой Ч. т., стимулировавшей создание мощного метода, была проблема простых чисел. Л. Эйлер, доказывая теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел, рассмотрел произведение по всем простым числам р:

при s > 1. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда

откуда следует тождество Эйлера:

, s > 1.

Так как при s = 1 ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида. Эта идея Л. Эйлера легла в основу позднейших теорий дзета-функции (См. Дзета-функция). Л. Эйлеру и Х. Гольдбаху (См. Гольбах) принадлежат первые постановки аддитивных (т. е. связанных со сложением) задач с простыми числами.

К середине 19 в. в основном было построено здание Ч. т., что связано с именами К. Гаусса, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Дирихле, П. Л. Чебышева, Ж. Лиувилля (См. Лиувилль), Э. Куммера.

К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового Характера и тригонометрической суммы. Простейшим характером является Лежандра символ.

К. Гаусс изучил свойства квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет) и невычетов. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. квадратичный закон взаимности, при доказательстве которого К. Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

0 < a, р - 1, а - целое.

Суммы такого вида и их обобщения стали называть тригонометрическими, т.к. в силу формулы Эйлера e^iφ = cosφ ± isinφ они могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов.

К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами, - теорию о представлении натуральных чисел формами вида ax²+ 2bxy + су², где а, b, с - целые числа.

К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X²+Y² ≤ R² равно πR² + O (R), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно

где С - Эйлера постоянная. Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.

Теоремы о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессиях частного вида, таких, как 4k ± 1, 6k ± 1, были известны давно, однако только П. Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в прогрессиях вида

nk + l, n = 0, 1, 2,...,

где k (разность прогрессии) и l (первый её член) взаимно просты. Он рассмотрел аналог эйлерова произведения по всем простым числам вида

где χ(p) удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодическая x (n + k) = χ(n) с периодом k, вполне мультипликативная, т. е. χ(nm) =χ(n)χ(m) при любых целых n и m. Эту функцию назвали характером Дирихле. С помощью характеров Дирихле можно "вырезать" арифметические прогрессии. Для каждого натурального k существует φ(k) характеров Дирихле (φ(k) - Эйлера функция), причём если рассмотреть сумму чисел χ(n) по всем возможным характерам, отвечающим k, то она будет равна φ(k), если п при делении на k даёт остаток 1, в противном случае - равна 0. При s > 1 получается аналог тождества Эйлера:

.

Ряд справа в этом равенстве называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при s → 1 + 0, Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметической прогрессии.

Характеры Дирихле играют важную роль как в самой Ч. т., так и в других разделах математики (алгебре, топологии и др.), а ряды Дирихле составляют большую главу в современной теории функций.

Новый подход к проблеме распределения простых чисел предложен П. Л. Чебышевым. Обозначим через π(Х) число простых чисел, не превосходящих Х. Теорема Евклида утверждает, что π(Х) → +∞ при Х → +∞. П. Л. Чебышев доказал более точный закон стремления к бесконечности π(Х):

где а > ¹/₂ln2, b < 2ln2, и утверждение, что если существует предел

при Х → ∞, то этот предел равен 1. П. Л. Чебышеву принадлежит и другое открытие в теории простых чисел. С помощью вычислений было замечено, что в интервале (X, 2Х), Х ≥ 2, лежит простое число; эту гипотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебышев доказал (1852) эту гипотезу, причём он получил более точный результат, уменьшив длину рассматриваемого интервала. Тем самым вместе с вопросом о простых близнецах, т. е. о наименьшем значении разности p_n+1 - р_п, возник и стал решаться вопрос об оценке сверху этой разности.

Изучение неопределённых уравнений, и в первую очередь уравнения Ферма, привело к созданию нового раздела Ч. т. - теории алгебраических чисел. Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, пришёл к равенству

где a_i - корни n-й степени из единицы. Рассматривая числа вида z + a_iy, где z и у - целые, как "новые целые числа", Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного a_i, т. е. множества чисел, которое получается из a_i путём применения к нему всех четырёх арифметических операций. Если бы в таком поле выполнялась теорема о единственности разложения целых чисел на простые сомножители, то тогда записанное выше равенство давало бы противоречие. Однако это не всегда так. Э. Куммер, чтобы сохранить справедливость этой теоремы, ввёл т. н. идеальные множители. Возник ряд проблем, решение которых привело к алгебраической теории чисел с большим количеством новых понятий и результатов.

Вместе с изучением свойств целых чисел возникло и стало развиваться новое направление Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что корни квадратные из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математическую формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) и трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число). Оказывается, алгебраические числа "плохо" приближаются рациональными дробями. Ж. Лиувилль доказал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n, то, приближаясь к нему дробями вида P/Q, где Р и Q - целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q^―n к нему нельзя (теорема Лиувилля). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебраич. чисел, которые стали называть трансцендентными. Например, таким будет число

Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классических постоянных π и е. В конце 19 - начале 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причём для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.

Теория алгебраических чисел разделилась на два направления: одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитом (1873), доказавшим трансцендентность числа e, и немецким математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа π и тем самым решившим задачу о квадратуре круга (См. Квадратура круга). Во втором - А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью которого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраическому числу нельзя подойти существенно ближе чем Q^―n/2. Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения

a₀xⁿ + a₁x^n―1y+... + a_n―1xy^n―1+ a_nyⁿ =А,

где a₀, a₁,..., a_n, А - целые числа, n ≥ 3.

Дальнейшее изучение простых чисел привело к новому методу в Ч. т., связанному с функцией ξ (s). Б. Риман доказал, что дзета-функция ξ (s) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного, является аналитической в каждой точке плоскости, за исключением s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1, удовлетворяет функциональному уравнению ξ(s)= ξ(1―s), где

Г (s) - гамма-функция, и имеет бесконечно много нулей в полосе 0 ≤ Res = 1 (эти нули называют нетривиальными, а полосу - критической). Он установил тесную связь между нетривиальными нулями ξ (s) и асимптотическим поведением π(х). Изучение асимптотической формулы для функции Чебышева

где Λ(n) = lnp, если n = р^к Λ(n)= 0, если n ≠ p^k, эквивалентно такой же задаче для функции π(х). Функция Ψ(х) может быть выражена через интеграл от производящей функции - ξ'(s)/ ξ(s):

Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули ξ (s) лежат на прямой Res = ¹/₂, из чего следует, что

ψ(x)=x + O (ln²x),

Из справедливости любой из последних формул следует гипотеза Римана. По аналогичной схеме были изучены L-ряды Дирихле. В 1896 Ш. Ла Валле Пуссен и Ж. Адамар доказали, что ξ(s) ≠ 0 в области Res ≥ 1, откуда следовала формула (асимптотический закон распределения простых чисел)

Кроме этого, Ш. Ла Валле Пуссен доказал, что ξ(s) ≠ 0 в области

и что

где с и c₁ - положительные постоянные. Такой же результат был получен им и для простых чисел в арифметических прогрессиях: если π(х, k, l) - число простых чисел вида kn + 1, n ≤ х, k и l- взаимно простые числа, то

Метод получения асимптотических формул для π(х), Ψ(х), π(х, k, l), названный методом комплексного интегрирования, нашёл многочисленные применения. Основой этого метода служит формула

Теория квадратичных форм, начатая работами Л. Эйлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продолжала своё развитие в работах А. Н. Коркина, Е. И. Золотарёва и А. А. Маркова. В частности, А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв доказали теорему: переменным любой положительной кватернарной квадратичной формы определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы не будет превосходить величины , и существуют такие формы, минимумы которых равны . Примером такой формы является следующая:

.

Исследования А. А. Маркова относились к изучению минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя и привели к целому ряду новых открытий.

Проблемы целых точек в областях на плоскости получили своё дальнейшее развитие в трудах Г. Ф. Вороного (См. Вороной), создавшего (1903) метод, с помощью которого доказано, что остаточный член в асимптотической формуле Дирихле для числа целых точек под гиперболой имеет порядок корня кубического из главного члена. Позднее (1906) метод Вороного был перенесён В. Серпиньским (См. Серпиньский) на проблему Гаусса целых точек в круге с тем же результатом. В это же время были предприняты попытки найти решения аддитивных проблем Ч. т. и, в частности, решить Варинга проблему (См. Варинга проблема). В 1909 она была решена Д. Гильбертом.

Второе, третье и четвёртое десятилетия 20 в. были исключительно богаты новыми идеями и методами в Ч. т. Г. Вейль, решая задачи, связанные с устойчивостью Солнечной системы, пришёл к понятию равномерного распределения дробных долей целочисленных функций: дробные доли действительнозначной функции F (x) равномерно распределены на [0,1) при х= 1,2,3.,.., если число попаданий дробных долей F (x) на любой интервал из [0.1) пропорционально длине этого интервала. Он доказал, что для равномерности распределения дробных долей F (x) необходимо и достаточно выполнение соотношения:

,

при любом фиксированном ∣m∣>0, и получил нетривиальные оценки ∣S (F)∣ в случае, когда F (x) - многочлен, старший коэффициент которого есть иррациональное число. И. М. Виноградов, изучая распределение значений символа Лежандра на отрезках малой длины по сравнению с модулем, доказал (1914) неравенство

, X > 0,

из которого следует, что квадратичных вычетов и невычетов на любом отрезке, длина которого чуть больше , асимптотически поровну. Кроме того, он высказал гипотезу, что это будет верно при Х > р^ε, где ε > 0 - сколь угодно малое число. В 1917 И. М. Виноградов доказал, что число целых точек в области 0 < y ≤ f (x), a < x ≤ b, при определённых ограничениях на порядок роста второй производной f (x), равно площади этой области с точностью до слагаемого порядка корня кубического из главного члена. Позднее чешским математиком В. Ярником установлено, что точность этой формулы при сделанных предположениях относительно f (x) нельзя существенно улучшить.

Норвежским математиком В. Бруном доказаны (1919) теоремы, которые в определённом смысле приближались к проблеме простых близнецов и проблеме Эйлера. А именно, им доказана бесконечность числа пар u₁ и u₂, таких, что u₁ - u₂= 2 и число простых делителей u₁ и u₂ не превосходит девяти; а также разрешимость уравнения u₁ + u₂ = 2N, с теми же условиями на u₁ и u₂

Г. Харди и Дж. Литлвуд опубликовали (1922-23) серию мемуаров под общим названием "Partitio Numerorum", в которых развили общий метод решения аддитивных задач Ч. т., получивший впоследствии название "кругового". Этот метод (на примере решения проблемы Варинга) состоит в следующем: пусть

, ,

тогда

где I_k (N) - число решений уравнений Варинга, которое находят по формуле

.

Г. Харди и Дж. Литлвуд изучали последний интеграл при R →1- 0. Окружность интегрирования определённым образом разбивается на "большие" и "малые" дуги (отчего и получил название метод), при этом интегралы по "большим" дугам дают главный член асимптотической формулы для I_k (N), а по "малым" - остаточный. Т. о. получают асимптотическую формулу величины

где σ(N) - некоторый "особый ряд"; σ(N) ≥ с > 0, δ >0 и k ≥ (n -2)2^n―1 + 5. С помощью этого метода Г. Харди и Дж. Литлвуд получили следующие результаты: дали новое решение проблемы Варинга, причём в форме более точной, чем это было у Д. Гильберта; дали условное решение проблемы Гольдбаха; сформулировали и выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами.

В начале 30-х гг. 20 в. И. М. Виноградовым был найден т. н. метод тригонометрических сумм, позволивший решить многие проблемы Ч. т. Так, занимаясь проблемой Варинга, И. М. Виноградов обнаружил (1929), что результат Харди - Литлвуда будет значительно проще, если вместо производящих рядов рассматривать тригонометрические суммы вида

,

где F (x) - действительная функция, и пользоваться соотношением

Тогда I_k (N) в проблеме Варинга запишется так:

,

где

.

Далее интервал интегрирования [0,1] разбивается рациональными несократимыми дробями вида a/b, 0 ≤ а < b ≤ τ, τ - параметр, зависящий от N, на подинтервалы подобные "большим" и "малым" дугам кругового метода. Интервалы, отвечающие дробям с малыми знаменателями, и сумма интегралов по ним дают главный член асимптотической формулы для I_k (N). Другие интервалы отвечают "малым" дугам; для них И. М. Виноградов оценивает ∣S (α)∣ методом Вейля и получает остаточный член. К тригонометрическим суммам сводятся и др. задачи Ч. т.: распределение дробных долей функций, целые точки в областях на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критической полосе и др. Причём главным в таких задачах является вопрос о возможно более точной оценке модуля тригонометрической суммы. И. М. Виноградов предложил два метода оценок тригонометрических сумм. Первый метод (1934) дал возможность получить новые оценки сумм Вейля. Следствием этого явились современные оценки, выведена асимптотическая формула в проблеме Варинга при k ≥ 4n²lnn, доказано, что для разрешимости уравнения Варинга при N ≥ N₀(n) достаточно не более 3nlnn + 11n слагаемых, получен новый остаточный член в асимптотических формулах для π(x) и ψ(х) (И. М. Виноградов, 1957) порядка

, c > 0,

получено решение проблемы Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили, 1953).

Второй метод Виноградова (1937) позволил оценить такие тригонометрические суммы, в которых суммирование ведётся по простым числам:

.

Это привело к доказательству асимптотической формулы для числа представлений нечётного числа суммой трёх простых, из которой следовало, что все достаточно большие нечётные числа являются суммой трёх простых. Тем самым была решена Гольдбаха проблема. Этот метод привёл к решению других общих задач Ч. т., например проблемы Варинга в простых числах, проблемы распределения квадратичных вычетов и невычетов в последовательностях вида р + а, где р принимает значения простых чисел.

Развитие идей А. Туэ (построение вспомогательного многочлена с высокой кратностью корня) и Д. Пойа (США) (целая аналитическая функция, принимающая в целых положительных точках целые значения и растущая медленнее 2^γ∣S∣, γ < 1, является многочленом) привело А. О. Гельфонда и нем. математика Т. Шнейдера (1934) к решению 7-й проблемы Гильберта, утверждающей трансцендентность чисел вида α^β, α ≠0,1, β - алгебраическое число степени ≥ 2. К. Зигель доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций типа e^x (т. н. Е-функции) в алгебраических точках.

В алгебраической Ч. т. доказан ряд теорем, обобщающих теоремы теории целых чисел на целые числа алгебраических числовых полей; некоторые из них привели и к чисто арифметическим результатам, сюда, в частности, относится теория представлений чисел полными и неполными разложимыми формами (простейшей из таких задач является уравнение Пелля). Развита также теория решений сравнений от двух и более переменных, из которой, например, следует, что сравнение

F (x, у) ≡ 0 (mod р),

где F - абсолютно неприводимый многочлен, имеет решений (теорема Хассе - Вейля).

Начиная с конца 40-х гг. и по настоящее время (1978) в Ч. т. появилось много работ в самых различных направлениях. Исследования ведутся как в классических областях, так и в новых. Советскими математиками Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым полностью исследовано диофантово уравнение x³- ау³ = 1 (1940). В теории дзета-функции Римана А. Сельберг (Норвегия, 1942) доказал, что конечная доля всех нулей ζ(s) лежит на критической прямой Res = ¹/₂; Ю. В. Линник доказал, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии с разностью k не превосходит k^c, с - постоянная, и разработал дисперсионный метод (1958-1961), с помощью которого вывел асимптотическую формулу для числа представлений натурального N суммой простого и двух квадратов (проблема Харди - Литлвуда); этим же методом он получил асимптотическую формулу для числа решений неопределённого уравнения вида р - а = ху, р ≤ N, ху ≤ N, а - фиксированное целое (проблема простых делителей Титчмарша). Метод тригонометрических сумм Виноградова получил дальнейшее развитие в работах самого И. М. Виноградова и его учеников. Безуспешные попытки доказать гипотезу Римана привели к ряду методов, которые обходят её и в то же время позволяют решить определённые задачи Ч. т., выводимые из этой гипотезы. Сюда относится проблема оценки разности p_n+1 - р_п = Δ_n, которая сведена к оценке числа нулей дзета-функции в прямоугольниках вида σ ≤ Res ≤ 1, σ > ¹/₂, ∣Im s∣≤ Т. Из таких "плотностных" теорем и границы нулей ξ(s), полученной на основе метода Виноградова, следует, что p_n+1 - р_п = О (р_п^0,6). К подобного рода результатам пришли и в теории распределения простых чисел в арифметических прогрессиях и её применениях к аддитивным задачам с простыми числами.

В теории трансцендентных чисел английский математик К. Рот (1955) усилил метод Туэ и доказал, что алгебраическое число не может быть приближено рациональной дробью P/Q существенно точнее, чем Q ^―2―ε, ε>0 - произвольно мало; английский математик А. Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраических чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения

a₀xⁿ + a₁x^n―1y +... + a_n-1 xy ^n-1 + а_пуⁿ = А

(указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n² + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел π+е и постоянной Эйлера и мн. др.).

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, М., 1976; Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.-Л., 1936; Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.-Л., 1937.

А. А. Карацуба.